Pregunta 1:

Explique cual es la diferencia fundamental entre la estadística bayesiana y frecuentista.

La estadistica frecentista tiene una interpretación de la probabilidad como la frecuencia con que un evento ocurre en el tiempo, es decir. La estadistica bayesiana tiene una interpretación sobre la probabilidad que tiene más que ver con el conocimiento que se tiene sobre un determinado evento, es decir, se combina conocimiento posterior y datos obtenidos.

Ambas estadsticas tienen como base su interpretación de la probabilidad, lo cual hace que esta sea la diferencia fundamental entre estas.

Pregunta 2:

Discuta la siguiente afirmación La inferencia bayesiana permite fácilmente utilizar distintos tipos de información.

La probabilidad bayesiana, toma en cuenta distintos tipos de información a la hora de calcular la distribución de probabilidad de un parámetro. Principalmente se toma en cuenta la probabilidad previa (puede ser conocimiento experto o una hipotesis) y la probabilidad que se obtiene de los datos. En conjunto, ambos tipos de información sirven para obtenet una probabilidad de salida, la cual puede ser vista como una atualización de la probabilidad previa.

La probabilidad previa (prior probability) puede tener una distribución distinta a la de los datos, lo cual facilita la combinación de ambos.

Pregunta 3:

Explique la diferencia entre prior probability y posterior probability

prior probability: Corresponde a la probabilidad que se cree o se tiene antes de evaluar los datos. Esta puede ser una suposición o tambien conocimiento experto. Esta probabilidad forma parte de la inferencia para obtener la posterior probability.

posterior probability: Corresponde a la probabilidad que se obtiene luego de evaluar los datos. Esta es la probabilidad que se busca obtener.

En resumen, su diferencia radica en como se obtienen y la función que cumplen en la inferencia bayesiana.

Pregunta 4:

El estadista bayesiano “Bruno Finetti” menciona la siguiente frase en su libro de probabilidad: La probabilidad no existe. Lo que en verdad quizo decir es que la probabilidad es un método para describir incertidumbre en un observador con conocimiento limitado. Discuta esta información utilizando el ejemplo del lanzamiento del globo terraqueo visto en clases. ¿Que significa decir “la probabilidad de que sea agua es 0.7”?

La frase “la probabilidad de que sea agua es 0.7” no significa que este sea un valor constante que se encontró y siempre será así. La probabilidad tiene una distribución que depende del conocimiento previo y de los datos obtenidos.

En consecuencia, esta frase significa que hasta ahora, en base al conocimiento previo y a los datos, se puede utilizar este valor de probabilidad, el cual viene dado por el conocimiento.

Pregunta 5:

¿ Que ventaja entrega que la distribución de la posterior este en la misma familia de distribución de probabilidad que la del prior?. De un ejemplo de alguna distribución que posee este comportamiento.

Si ambos, prior y posterior, tienen igual distribución, eso quiere decir que en cada iteración se irá ajustando la curva. Gracias a esto se verá una convergencia de los parametros de la distribución.

En un caso contrario, donde prior y posterior tienen distribuciones distintas, la convergencia se complica y el resultado no necesariamente será de una distribución conocida.

Pregunta 6:

Señale y explique los pasos de la grid approximation para obtener la posterior y responda las siguientes preguntas:

1. ¿Cual de los pasos señalados nos permite obtener una distribución de la posterior mas precisa?.
2. Cuales son las limitaciones de la grid approximation.

A continuación se explican los pasos de la grid approximation

• 1. Definir grilla: Definir la discretización a realizar
• 2. Evaluar grilla: Calcular el prior para cada valor de la grilla
• 3. Calcular likelihood en para cada grilla
• 4. Multiplicar cada prior con su likelihood (para cada valor de grilla)
• 5. Dividir el arreglo resultante en la suma total, es decir, normalizar

1. En el primer paso se decide la discretización, es decir, la precisión de la grilla con respecto a la curva real.

2. Cuando se tiene un gran número de variables este método se vuelve inviable, ya que se debe hacer grilla por cada parámetro del sistema. Esto tiene un limite computacional por debajo de otros métodos.

Pregunta 7:

¿ Por qué es necesario aprender a trabajar con muestras de la posterior?.

Respuesta Aquí

Pregunta 8:

Señale si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, en el caso que sean falsas justifique su respuesta:

• Los point estimates de la posterior no entregan información relevante en un estudio.

• Un intervalo de confianza es un intervalo dentro del cual un valor de parámetro no observado cae con una probabilidad particular, mientras que un intervalo de credibilidad es un rango de valores en el que se estima que estará cierto valor desconocido.

• La principal ventaja de HPDI frente a un intervalo de credibilidad es que si la posterior no distribuye de forma normal, el HPDI será capaz de detectar los puntos de interés, mientras que un intervalo de credibilidad lo ignoraría al asumir simetría.

Respuesta Aqui

Pregunta 9

Suponga que tiene dos especies de pandas. Cada una de las especies es igual de común y es imposible distinguirlas físicamente. Una de las diferencias entre las especies es el tamaño de sus familias. Si denotamos por \(\theta\) a la especie del panda se tiene que, cuando la especie es \(\theta = 1\) tiene dos bebes un \(10\%\) de las veces mientras que la especie \(\theta = 2\) tiene dos bebes un \(20\%\) de las veces, mientras que el resto de veces ambas especies tienen un solo bebe.

Suponga que usted esta intentando determinar la especie de un panda que que tiene como registro de nacimientos al conjunto \(D\), considere quela especie de un panda que acaba de dar a luz a dos bebes, es decir \(D = \{\text{dos bebes}\}\)

• ¿Cual es la probabilidad de que pertenezca a la especie \(1\)?

• Suponga ahora que el mismo panda acaba de dar a luz y esta vez es solo un bebe. Calcule la probabilidad posterior de que el panda sea de especie \(1\). ¿Que cambia con el calculo anterior?

• Suponga que le ofrecen hacer un test genético a su panda, como suele ser común con los test no es perfecto y le mencionan las siguientes características:

  • La probabilidad de que correctamente idenfitique a la especie \(1\) es de \(0.8\)
  • La probabilidad de que correctamente identifique a la especie \(2\) es de \(0.65\)

Se administra el test y se obtiene un resultado positivo a la especie \(1\). Sin utilizar la información en \(D\) calcule la probabilidad posterior de que su panda sea de la especie \(1\). Repita sus cálculos utilizando la información recopilada en \(D\). ¿En que varían sus resultados?

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Preguntas: Introducción a Grid Approximation

Las primeras dos preguntas de esta tarea tienen como objetivo introducirlos en la inferencia Bayesiana utilizando la técnica Grid Approximation para obtener una aproximación de la posterior. Al finalizar los problemas ustedes deberán ser capaces de visualizar los efectos que tiene el prior en la posterior, saber cómo realizar una Grid Approximation y comprender como utilizar Percentile Interval (PI) en una posterior.

Pregunta 1:

Considere el dataset “moneda.csv” donde se encuentran los resultados de un experimento lanzando una moneda, el objetivo de esta pregunta es estudiar mediante técnicas de inferencia Bayesiana el valor de la probabilidad de que salga cara, representado por el valor \(1\). Puede usar la librerira rethinking durante toda esta pregunta (si lo desea).

dataMoneda <- read.csv("moneda.csv", header = TRUE)

• Programe el metodo grid approximation para distintos tamaños de experimento. ¿Como van cambiando las curvas posterior?

• Repita el mismo análisis anterior pero utilizando el método de Laplace (no necesita programar el método, puede utilizar la libreria “rethinking”). ¿Como se comparan con los resultados anteriores?.

• Grafique la densidad de la posterior y encuentre la proporción de los siguientes defined boundaries:

  • \((0, 0.4)\)
  • \((0.4,0.7)\)
  • \((0.7,1)\)

¿Como puede interpretar los resultados?

• Calcule un intervalo de credibilidad al \(50\%\), \(75\%\) y \(95\%\). ¿Como se puede interpretar los resultados? ¿Cual podría ser un problema al usar intervalos de credibilidad?.
• Genere los intervalos HDPI para \(50\%\), \(75\%\) y \(95\%\), compárelos con los intervalos de credibilidad de la parte anterior. ¿En que se diferencian los intervalos de credibilidad con los HDPI?.

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Pregunta 2: Grid Approximation y Posterior Predictive Distribution

El objetivo de esta pregunta es comprender el concepto de sample prediction visto en clases y realizar predicciones en base a una posterior.

Un conjunto de carteros aburridos de las mordidas de perros ha decidido realizar un catastro de mordidas recibidas por los empleados de su empresa en un periodo de dos meses, planeando en base a estos datos realizar inferencia bayesiana. Los datos de las mordidas estas datos por el dataset no+mordidas.csv, en donde cada fila representa las mordidas recibidas por diferentes carteros y las columnas señalan si fue mordido o no el cartero en los meses de estudio (notar que si fue mordido sera señalado con un 1, de lo contrario es señalado con un 0). Cabe señalar que un cartero no puede ser mordido mas de una vez al mes, ya que el damnificado recibe licencia por todos los días restantes del mes tras la mordida, reincorporándose el siguiente mes al trabajo.

df = read.csv("no+mordidas.csv")
head(df)

En base a los datos, realice los siguientes puntos:

• Realice una grid approximation para estimar la probabilidad que un cartero sea mordido, para esto junte los datos del mes 1 y 2 de estudio. Señale el máximo valor de la posterior.

• Utilizando la posterior obtenida en el paso anterior, utilice rbinom para simular 10.000 réplicas de 500 registros de mordidas. Con esto, deberá obtener 10.000 números, cada uno de los cuales es un recuento de las mordidas obtenidas en el registro de datos. Compare la distribución del número de los carteros mordidos predichos con el número real de los datos (248 carteros mordidos de un total de 500 datos). ¿El modelo se ajusta bien a los datos? Es decir, ¿la distribución de las predicciones incluye la observación real como resultado central y probable?

• Como se comento en el comienzo bites_month1 contiene las mordidas señaladas por un conjunto de personas en el primer mes. Haciendo uso de bites_month2, obtenga la posterior de que una persona que fue mordida en el primer mes, sea mordida nuevamente en el segundo mes. Para esto, se recomienda comenzar buscando los carteros que fueron mordidos el primer mes y en base a estos generar una búsqueda indexada para obtener el número solicitado. Hecho esto, simule ese número carteros mordidos 10.000 veces. De los resultados obtenidos, compare el recuento de carteros mordidos con el recuento real. ¿Cómo se ve el modelo desde este punto de vista?

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Pregunta 3: Inferencia Sobre Dos Parámetros

En esta pregunta se trabajara con el dataset “notas.csv” el cual contiene las notas históricas de un curso desconocido. Suponga que los datos vienen de una distribución \(\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\), el objetivo de la pregunta es estudiar el comportamiento de los datos y los posibles valores de \(\mu,\sigma\) mediante técnicas de inferencia Bayesiana.

Usted sabe un dato extra sobre la información, los valores de \(\sigma\) en la grilla se mueven en el intervalo \([0.5,1.5]\) y, además, tiene una fuerte creencia a que es mas probable encontrar la desviación estándar real entre \([0.5,1]\) que en \((1,1.5]\). De hecho, estudios señalan que la probabilidad de encontrar sigma en los valores \([0.5,1]\) es de 2/3, mientras que 1/3 para el resto de intervalos.

• Modifique el siguiente código que permite realizar una grid approximation para \(2\) parámetros. Proponga priors para \(\mu\) y \(\sigma\), justifique su elección.

# Leer información
data_notas <- read.csv("notas.csv")

# Función para crear likelihood dado mu y sigma
grid_function <- function(mu,sigma){
   .... # Funcion de likelihood
}

# Valores de la grilla
grid_mu <- ...
grid_sigma <- ...

# Se crea la grilla 2d
data_grid <- expand_grid(grid_mu,grid_sigma)

# Se guarda la likelihod
data_grid$likelihood <- map2(data_grid$grid_mu,data_grid$grid_sigma, grid_function)

# Se transforma el forma de map2 a una columna
data_grid <- unnest(data_grid,cols = c("likelihood"))


# Valores de los priors
prior_mu <- ...
prior_sigma <-  ...

# Se crea la grilla 2d de priors
prior <- expand_grid(prior_mu,prior_sigma)

# Se calculan los valores del prior
data_grid$prior <-  map2(prior$prior_mu,prior$prior_sigma, prod)
data_grid <- unnest(data_grid,cols = c("prior"))

# Se calcula el posterior
data_grid$unstd_posterior <-  data_grid$likelihood * data_grid$prior

# Se estandariza el posterior
data_grid$posterior <- data_grid$unstd_posterior/sum(data_grid$unstd_posterior)

# Se ajustan los valores de la posterior para que no sean valores tan pequñeos
data_grid$posterior <- (data_grid$posterior - min(data_grid$posterior))/(max(data_grid$posterior)-min(data_grid$posterior))

• Tras haber ejecutado el código de la parte anterior ejecute el siguiente, ¿Que puede decir de los valores de la distribución? Se recomienda hacer modificaciones en el código para realizar un mejor análisis y estudio.

# Punto de referencia
# Se recomienda cambiar estos valores por unos adecuados que le permitan estudiar
# Los valores de la distribución de mejor manera
valor_x <- 1
valor_y <- 1

# Grafico

punto_comparacion <- tibble(x = valor_x, y = valor_y)

plt <- data_grid %>%
  ggplot(aes(x = grid_mu, y = grid_sigma)) +
  geom_raster(aes(fill = posterior),
    interpolate = T
  )+ 
  geom_point(x = valor_x, y = valor_y, size = 1.3,color="white")+
  geom_label(
    data = punto_comparacion, aes(x, y),
    label = "Punto Comparación",
    fill = "green",
    color = "black",
    nudge_y = 0, # Este parametro desplaza la caja por el eje y
    nudge_x = 1 # Este parametro desplaza la caja por el eje x
  )+
  scale_fill_viridis_c() +
  labs(
    title = "Posterior para Mean y Standard Deviation",
    x = expression(mu ["Mean"]),
    y = expression(sigma ["Standar Deviation"])
  ) +
  theme(panel.grid = element_blank())

plt

• A continuación se presenta un código que permite realizara la distribución dada por sampling from grid approximation ¿Para que sirve este proceso? ¿Que puede deducir del gráfico?

# Codificamos los datos
x <- 1:length(data_grid$posterior)

# Sampleamos los indices
posterior_samples_aux <- sample(x,size = 1e4, replace = T, prob = data_grid$posterior)

# Obtenemos los verdaderos valores de la sampling distribution
posterior_samples <- data_grid[posterior_samples_aux,]

# Obtenemos solos los valores relevantes para la densidad
df <- data.frame(posterior_samples$grid_mu,posterior_samples$grid_sigma)

# Realizamos las densidades
dens(df)

Respuesta Aqui

A work by CC6104